หน้าแรก > คำถาม
คำถาม
จำนวนตรรกยะและอตรรกยะคืออะไร แตกต่างกันอย่างไรคะ
จำนวนตรรกยะและอตรรกยะคืออะไร แตกต่างกันอย่างไรคะ แล้วจำนวนอะไรบ้างที่เป็นจำนวนตรรกยะและอตรรกยะ
วิทยาศาสตร์ 18/1/52 โพสต์โดย Snokesnan
คำตอบ
1 จาก 15
จำนวนตรรกยะ....

ในทางคณิตศาสตร์, จำนวนตรรกยะ (หรือเศษส่วน) คืออัตราส่วนของจำนวนเต็มสองจำนวน มักเขียนอยู่ในรูปเศษส่วน a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับศูนย์

จำนวนตรรกยะแต่ละจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปแบบที่หลากหลาย ตัวอย่างเช่น 3 / 6 = 2 / 4 = 1 / 2 รูปแบบที่เรียกว่า เศษส่วนอย่างต่ำ a และ b นั้น a และ b จะต้องไม่มีตัวหารร่วม และจำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถเขียนได้ในรูปเศษส่วนอย่างต่ำนี้

ทศนิยม เป็นรูปแบบที่แผ่ขยายออกมา และต่อเนื่องไปเรื่อยๆ อย่างไม่มีที่สิ้นสุด (ยกเว้นกรณีซ้ำศูนย์ เราสามารถละ โดยไม่ต้องเขียนได้) ข้อความนี้เป็นจริงสำหรับจำนวนตรรกยะทุกจำนวน

จำนวนอตรรกยะ....

ในวิชาคณิตศาสตร์ จำนวนอตรรกยะ คือจำนวนจริงใดๆที่ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ นั่นก็คือจำนวนที่ไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนที่มีทั้งตัวเศษและส่วนเป็นจำนวนเต็มได้ หรือกล่าวได้ว่ามันไม่สามารถเขียนในรูป

   \frac{a}{b}

ได้ เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม และ b ไม่เท่ากับศูนย์ เห็นได้ชัดว่าจำนวนอตรรกยะคือจำนวนที่ไม่ว่าเขียนทศนิยมในฐานใดก็ตามจะไม่รู้จบ และไม่มีรูปแบบตายตัว แต่นักคณิตศาสตร์ก็ไม่ได้ให้นิยามจำนวนอตรรกยะเช่นนั้น จำนวนจริงเกือบทั้งหมดเป็นจำนวนอตรรกยะโดยนัยที่จะอธิบายต่อไปนี้

จำนวนอตรรกยะบางจำนวนเป็นจำนวนพีชคณิต เช่น √2 รากที่สองของ 2 3√5 รากที่สามของ 5 และสัดส่วนทอง แทนด้วยอีกษรกรีก \varphi (ฟาย) หรือบางครั้ง τ (เทา) ที่เหลือเป็นจำนวนอดิศัย เช่น π และ e

เมื่ออัตราส่วนของความยาวของส่วนของเส้นตรงสองเส้นเป็นจำนวนอตรรกยะ เราเรียกส่วนของเส้นตรงทั้งสองเส้นนั้นว่าวัดไม่ได้ (incommensurable) หมายความว่า ทั้งสองเส้นไม่มีมาตรวัดเดียวกัน มาตรวัดของส่วนของเส้นตรง I ในที่นี้หมายถึงส่วนของเส้นตรง J ที่วัด I โดยวาง J แบบหัวต่อหางเป็นจำนวนเต็มจนยาวเท่ากับ I
18/1/52 โพสต์โดย mrsavebook
2 จาก 15
เป็นปัญหาที่ัลำบากในการตอบให้เข้าใจได้มากจริงๆ นะครับ
เอาเป็นอันว่าเรามาทำความเข้าใจเฉพาะเรื่องจํานวนอตรรกยะ(Irrational Numbers)
ก่อนก็แล้วกันนะครับ เพราะมันเป็นเหมือนพี่กับน้องฝาแฝดกันน่ะครับ

จํานวนอตรรกยะเปนจํานวนที่คอนขางจะทําความเขาใจไดยาก เพราะหาตัวอยาง
ที่เปนรูปธรรมแสดงแทนไมคอยได การใชตัวเลขแสดงแทนจํานวนอตรรกยะจึงตอง
อาศัยการจินตนาการที่ลึกซึ้งพอสมควรจึงจะพอมองออกวาจํานวนอตรรกยะเปนอยางไร
ถึงแมวาจํานวนอตรรกยะบางจํานวนจะเขียนตัวเลขแสดงแทนไดหลายแบบ
แตตัวเลขที่ถูกกําหนดขึ้นมาเพื่อใชแทนจํานวนอตรรกยะโดยเฉพาะก็คือตัวเลขในรูป
ทศนิยมไมซ้ํา เชน 3.2154021687…

ตัวเลขในรูปทศนิยมที่เราใชกันอยู จําแนกออกไดเปน 2 ชนิด คือ
ทศนิยมซ้ํา และ ทศนิยมไมซ้ํา ทศนิยมซ้ํานั้น ใชเขียนแสดงจํานวนตรรกยะดังที่กลาว
มาแลวเชน
4.800000... (ศูนยซ้ํา) เขียนในรูปยอไดเปน4.8
4.888888... (แปดซ้ํา) เขียนในรูปยอไดเปน4..8

สวนตัวเลขในรูปทศนิยมไมซ้ำ ไมมีรูปยอเหมือนทศนิยมซ้ำ จึงมีการเขียนเพียงแบบเดียว
คือ เขียน ... ทิ้งไวเพื่อใหเขาใจวา ยังมีทศนิยมตําแหนงตอ ๆ ไป ซึ่งไมทราบวาเปนอะไร
เชน
4.815...
4.8157...
4.81...
== = = = = = = = = = = = = = = = = = = = =

ทั้ง 4.815... 4.8157... 4.81... ตางก็เปนตัวเลขที่แทนจํานวนอตรรกยะทั้งสิ้น
สวนจะเปนจํานวนเดียวกันหรือไม คงไมสามารถบอกได เพราะไมอาจทราบวา
ทศนิยมตําแหนงตอๆไปจะเหมือนกันหรือไม

จากวิธีการเขียนทศนิยมดังกลาวจะเห็นวา ทั้งทศนิยมซ้ําและทศนิยมไมซ้ํา
ตางก็สามารถจะเขียนตัวเลขหลังจุดทศนิยมไดอยางไมสิ้นสุดเหมือนกัน จึงอาจกลาวไดวา
ทศนิยมทั้งหลายเปนทศนิยมไมรูจบทั้งสิ้น หรือ ไมมีทศนิยมรูจบ นั่นเอง

ปจจุบันจึงไมนิยมแบงทศนิยมออกเปนทศนิยมรูจบและไมรูจบอีกตอไป

ดังนั้น การพิจารณาวาตัวเลขในรูปทศนิยมที่กําหนดให แทนจํานวนตรรกยะ
หรือจํานวนอตรรกยะ ก็ดูไดจากลักษณะการเขียน วาเปนทศนิยมซ้ําหรือไมซ้ํา
ดังเชน
3.51273135009... เปนจํานวนอตรรกยะ (เขียนเปนทศนิยมไมซ้ํา)
3.51273135009 เปนจํานวนตรรกยะ (เขียนเปนทศนิยมซ้ํา เพราะไมมี… ตอทาย)

การเกิดจํานวนอตรรกยะ ก็คงทํานองเดียวกับจํานวนอื่น ๆ ที่กลาวมาแลววา
เปนเพราะพัฒนาการทางคณิตศาสตรนั่นเอง ทําใหคนคิดวาจํานวนตรรกยะที่มีอยูนั้น
ไมเพียงพอที่จะใชในการศึกษาวิชาคณิตศาสตร เชน หากมีเฉพาะจํานวนตรรกยะ
ก็จะไมสามารถหาคําตอบของสมการ x2 = 2 ได
19/1/52 โพสต์โดย Chya
3 จาก 15
เพิ่มเติมครับ
4.888888... (แปดซ้ํา) เขียนในรูปยอไดเปน4.8 (มีจุดข้างบนหัว 8 นะครับ ไม่รู้จะพิมพ์อย่างไรครับ)

สรุป
จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนแสดงได้ด้วยตัวเลขในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ

นั่นคือ หากสงสัยว่าตัวเลขที่ให้มาแทนจำนวนอตรรกยะหรือไม่ก็ต้องลองแปลงตัวเลขนั้น
ให้อยู่ในรูปทศนิยม หากแปลงออกมาแล้วได้เป็นทศนิยมไม่ซ้ำ ก็สรุปได้ว่าเป็นจำนวน
อตรรกยะ แต่หากไม่สามารถแปลงเป็นทศนิยมไม่ซ้ำได้ ก็ถือว่าไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ
ส่วนจะเป็นจำนวนอะไร ต้องตรวจสอบต่อไปตามนิยามของจำนวนนั้น ๆ (อาจไม่ใช่จำนวน
ตรรกยะ)

แม้ว่าจำนวนอตรรกยะบางจำนวนจะสามารถเขียนตัวเลขแทนได้หลายลักษณะ
แต่จำนวนอตรรกยะเหล่านั้น ก็สามารถเขียนเป็นทศนิยมไม่ซ้ำได้ทั้งสิ้น

เมื่อเรารู้จักจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะแล้ว ก็เท่ากับว่าเรารู้จักจำนวนจริงนั่นเอง
เพราะจำนวนจริงมิใช่จำนวนที่ถูกกำหนดขึ้นใหม่ แต่เป็นเพียงการรวมเอาจำนวนตรรกยะ
และจำนวนอตรรกยะ เข้าด้วยกัน แล้วกำหนดชื่อใหม่ว่า จำนวนจริงเท่านั้น ถ้าจะกำหนด
เป็นนิยามของจำนวนจริงก็อาจจะได้ทำนองนี้ว่า

จำนวนจริง คือ จำนวนที่สามารถเขียนแทนได้ตัวเลขในรูปทศนิยม

ซึ่งคำว่า ทศนิยม ในที่นี้ หมายถึง ทั้งทศนิยมซ้ำ ที่แทนจำนวนตรรกยะ และ ทศนิยมไม่ซ้ำ
ที่แทนจำนวนอตรรกยะ นั่นเอง
19/1/52 โพสต์โดย Chya
4 จาก 15
ตรรกยะ เช่น 1 2 3 100
อตรรกยะ เช่น root 33
12/8/52 โพสต์โดย Thachapol
5 จาก 15
จำนวนตรรกยะ คือเขียนทศนิยมแบบซำได้  เช่น 2 3 4 5 เศษส่วน
จำนวนอตรรกยะ  คือ เขียนทศนิยมแบบซำไม่ได้ เช่น    254.4568412
10/2/53 โพสต์โดย วุฒิชัย พันธ์ประสิทธิ์เวช
6 จาก 15
จำนวนตรรกยะคือจำนวนที่เขียนในรูปของ a/b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ b ไม่ใช่ 0 เนื่องจากจำนวนเต็นและทศนิยมซ้ำสามารถทำเป็นรูปเศษส่วนได้แสดงว่า จำนวนเต็มและทศนิยมซ้ำเป็นจำนวนตรรกยะ แต่ เศษส่วน จำนวนเต็ม และทศนิยมไม่สามารถแทนได้ด้วยจุดบนเส้นจำนวน จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถแทนได้โดยจุดบนเส้นจำนวน แต่จำนวนอตรรกยะ เช่น ทศนิยมไม่ซ้ำสามารถแทนได้ด้วยจุดบนเส้นจำนวนดังนั้น จำนวนตรรกยะทุกจำนวนสามารถแทนได้ด้วยจุดบนเส้นจำนวน
28/6/53 โพสต์โดย พุ๋งญิ๋งรุงรัง
7 จาก 15
มีวิธีหาจำนานทั้ง2 ไหมนะ
อย่ารู้วิธีหา
18/8/55 โพสต์โดย PrawMimg
8 จาก 15
2.65 เป็นจำนวนตรรกยะหรือไม่
13/12/55 โพสต์โดย ยังไม่มีชื่อเล่น
9 จาก 15
ขอตัวอย่างจำนวนตรรกยะ+จำนวนอตรรกยะหน่อยยย
18/8/56 โพสต์โดย ยังไม่มีชื่อเล่น
10 จาก 15
จำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่สามารถเขียนแสดงได้ด้วยตัวเลขในรูปทศนิยมไม่ซ้ำ

นั่นคือ หากสงสัยว่าตัวเลขที่ให้มาแทนจำนวนอตรรกยะหรือไม่ก็ต้องลองแปลงตัวเลขนั้น
ให้อยู่ในรูปทศนิยม หากแปลงออกมาแล้วได้เป็นทศนิยมไม่ซ้ำ ก็สรุปได้ว่าเป็นจำนวน
อตรรกยะ แต่หากไม่สามารถแปลงเป็นทศนิยมไม่ซ้ำได้ ก็ถือว่าไม่ใช่จำนวนอตรรกยะ
ส่วนจะเป็นจำนวนอะไร ต้องตรวจสอบต่อไปตามนิยามของจำนวนนั้น ๆ (อาจไม่ใช่จำนวน
ตรรกยะ)

แม้ว่าจำนวนอตรรกยะบางจำนวนจะสามารถเขียนตัวเลขแทนได้หลายลักษณะ
แต่จำนวนอตรรกยะเหล่านั้น ก็สามารถเขียนเป็นทศนิยมไม่ซ้ำได้ทั้งสิ้น

เมื่อเรารู้จักจำนวนตรรกยะและจำนวนอตรรกยะแล้ว ก็เท่ากับว่าเรารู้จักจำนวนจริงนั่นเอง
เพราะจำนวนจริงมิใช่จำนวนที่ถูกกำหนดขึ้นใหม่ แต่เป็นเพียงการรวมเอาจำนวนตรรกยะ
และจำนวนอตรรกยะ เข้าด้วยกัน แล้วกำหนดชื่อใหม่ว่า จำนวนจริงเท่านั้น ถ้าจะกำหนด
เป็นนิยามของจำนวนจริงก็อาจจะได้ทำนองนี้ว่า

จำนวนจริง คือ จำนวนที่สามารถเขียนแทนได้ตัวเลขในรูปทศนิยม

ซึ่งคำว่า ทศนิยม ในที่นี้ หมายถึง ทั้งทศนิยมซ้ำ ที่แทนจำนวนตรรกยะ และ ทศนิยมไม่ซ้ำ
ที่แทนจำนวนอตรรกยะ นั่นเอง
6/11/56 โพสต์โดย ta ratoey
11 จาก 15
จำนวนตรรกยะสามารถเขียนเป็นเศษส่วนได้ แต่อตรรกยะไม่ได้
14/12/56 โพสต์โดย เด็กสวนกุหลาบ
12 จาก 15
ตัวอย่างจำนวนตรรกยะ
21/12/56 โพสต์โดย ยังไม่มีชื่อเล่น
13 จาก 15
จำนวนตรรกยะคือ จำนวนที่สามารถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วน a ส่วน b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ b ไม่เท่ากับ 0


จำนวนอตรรกยะคือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยทศนิยมซ้ำหรือเศษส่วน a ส่วน b เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็มที่ b ไม่เท่ากับ 0

พูดง่ายๆว่า พวกตัวเลขที่ติดรูท ถอดไม่ได้ หรือพวกที่ทำเปนเศษส่วนเป็นทศนิยมไม่ได้ ก็ถือว่าเป็นอตรรกยะค่ะ
13/1/57 โพสต์โดย ยังไม่มีชื่อเล่น
14 จาก 15
จำนวนตรรกยะ คือ จำนวนที่สามาถเขียนให้อยู่ในรูป a/b และอยู่ในรูปทศนิยมซ้ำได้ เช่น -1, 0.5, 2.666... , 1/2 เป็นต้น
จำนวนอตรรกยะ คือ จำนวนที่ไม่สามารถเขียนแทนได้ด้วยเศษส่วนหรือทศนิยมซ้ำ เช่น รูท2 , 1.1231234 เป็นต้น
16/1/57 โพสต์โดย บรีน
15 จาก 15
มีจำนวนตรรกยะใด คูณ จำนวนอตรรกยะ แล้วเปลี่ยนสถานะ(ผลคูณ) เป็นจำนวนตรรกยะได้บ้างมั้ยคะ
5/2/57 โพสต์โดย ยังไม่มีชื่อเล่น
นอกจากนี้คุณอาจสนใจ
6.808808880... และ 0.101001... เป็น ตรรกยะรึเปล่าครับ ??
ถ้าอยากได้ตัว........ ต้องได้ใจ ?
คนเสื้อแดงใช้ตรรกที่ผิดแบบใดบ้าง?
อัตราส่วนกับสัดส่วนแตกต่างกันอย่างไร
ฐานข้อมูลกับข้อมูลแตกต่างกันอย่างไร
เข้าสู่ระบบ
ดู กูรู ใน: โทรศัพท์มือถือ | คลาสสิก
©2014 Google - นโยบายส่วนบุคคล - ผู้ช่วยกูรู